vol.322　無限の彼方へ…

2024-10-15

・スーザンさんからのお便り①

・完備化とは

・人類の数学的挑戦

・無限の探索

・数の謎を解く

・無限の小さな世界

・外伝３と無限小の関わり

今日はスーザンさんの2023年、去年の11月5日(※収録日2024年10月4日)

やはり1年前ですね、なかなか進みませんけども。

お便りからいきます。

日々御祭舟や虚空蔵東京本、動画等を通じて世界の真実の姿をお知らせ頂き誠にありがとうございます、とあります。

『目風様、みわ様

日々御祭舟や虚空蔵東京本、動画等を通じて世界の真実の姿をお知らせ頂き誠にありがとうございます。

ご開示頂いている情報の濃さに比べて私の理解力はあまりにも脆弱でありますが、何とか自らに宇宙全史のお言葉を浸透させるよう日々学ばせて頂いております。

先日、「収束する数列」の概念と関連し、πなどの無理数について投稿させて頂きましたが、要領を得ない部分があったと思われましたので、本日は補足の投稿をさせて頂きます。

どうぞよろしくお願い致します。』

これはこちらに出ていますけども。難しいんで、ずっとだらだらと、だらだらと言ったら失礼だけど出しておきますけども。

スーザンさんがおっしゃるには「収束する数列」だよね。πなどの無理数について投稿させていただきましたと。要領を得ない部分があったと思われますので、今日は補足しますと。

で、数学者たちは無理数の不明確さを克服するために、有理数の「完備化」っていうのかな？という手法を通じて無理数を「構成」することでπや√2 などの実態をつかもうとしてきたと書かせていただきました。もうちょっと忘れてしまってますけども、多分そうなんだね。

『先日の投稿にて、数学者たちは無理数の不明確さを克服するため、有理数の「完備化」という手法を通じて無理数を「構成」することで、πや√2 などの実態を掴もうとしてきたと書き込ませて頂きました。

特に円周率πという数字に関しましては、円周の長さや面積を求める際に必須の定数であるため、古来からその値を知ろうと多くの努力が払われてきたと理解しております

（現代に至ってもπの姿に迫るためスーパーコンピュータで果てしない計算がなされております）』

『実際にアルキメデスやニュートンを初めとして、何人もの数学者がπを表す公式（ライプニッツの公式やオイラーによる公式などが有名です）を求めてその近似値を得ています。例えば、

π＝3.14…（アルキメデス）

π＝ 3.1415926（祖沖之）

π＝3.1415926535897932（ニュートン)

などがありますが、その後、πは無理数であり、この計算はどこまで続けても循環性が見つからず無限に続いていくということが証明されました。

おそらく、これらの近似値を得た先人たちπが無理数であると薄々分かっていたと思いますが、その真の姿に迫りたいという望みから様々な試みを行っていたのではないかと推測しております。』

多分無理数というのは無限にずっと3.14……πだったらね？3.14……何か続く数なんすよ、を書いてありますけどね。

ニュートンが3.1415926535…。すごいねニュートンって、ここまで出してんだね。祖沖之って人もすごいね。この人、多分中国の人かな？

日本人もたしか出してたよね、かなりの数までね。

あの江戸時代の人かな？確か。誰だっけ？

(※関孝和は、「円理（えんり）」と呼ばれる手法を用いて、円周率のより精密な近似値を計算しました。

これは、円に内接する多角形と外接する多角形を使って、円の周りを囲む形で円周率を求めるもので、古代中国やギリシャの数学者たちが使った方法と似ています。

彼はこの方法を発展させ、円周率を小数点以下第10位まで正確に求めました。

この結果、彼の計算によって導かれた円周率は「3.141592

6535」という数値に達しました)

それで、その無限に続く数を、例えば1000桁までいっても、その次がまたあるわけじゃないですか。で、一万桁いってもその次があるわけじゃないですか。で、100万桁いってもあるわけ。で、1億桁言っても一兆桁いっても延々続いていくわけですよね。

で、スーパーコンピュータでずっと演算してって、もう一京、一京だよね。一京の一京の一京乗やってもまだあるわけよ。

それだけ無限に続く数が無理数なわけ。

数学ではこれを何とか処理したいと思ったのね、概念として。それが完備化という方法なんだよね。

(※完備化についての説明は動画終了後に流します)

『前置きが長くなってしまいましたが、スーパーコンピュータなどで上記のようなπの近似値を求めるということはすなわち、

a_1 = 3.14

a_2 = 3.1415926

а_3 = 3.1415926535897932..

という数列を際限なく考えることと同じであり、

π が無理数であると証明されて以降は、この際限なく続く数列そのものが、人間が認識できるπの姿であると捉えられるようになったと理解しております。

事実、先ほど述べました「完備化」という方法でも、上記のような「有理数」の数列 a_1,a_2，a_3...そのものをπと定めております（数学的にはもう少し詳細な説明が必要になりますが、本質的な部分は同じでございます）。

つまり、πを初めとした無理数の正体は、有理数から構成される際限なく

（つまり無限に）続く数列であるというのが、数学における説明になっております。』

これいったらおためごかしだよね。おためごかしって言ったら変だけども。無限に続く数をこういう形で数式としてまとめましょうと。

πならπでいいと思うんだけども、数学者はですね、数列…｛a_n｝という形にすると言うことにしたんですね。

『そして数学における無限とは、数列において1億番目の数字であるうと、1兆番目の数字であろうと必ず次のステップの1億1番目や1兆1番目の数字が存在しているように、それは単に「有限ではない」ということであり、常に繰り返しのステップが続いていくという「動的な」概念だと感じます。

一方で、数学ではa_1,a_2,a_3...という数字の列を全てまとめて「数列{a_n}」と表す方法があり、このように表記してしまうと、

a_1, a_2, a_3...

という個別の数字をバラバラに見ているという感じはなくなり、数列を構成する数字を全て一度に上から俯瞰して見下ろしているという理解が生じてきます。』

『例えば、先ほどπに収束する有理数で構成された数列を考えましたが、有理数のみの閉じた世界で考える限りはいくら先の数字に進もうとも一向にπには至らないのですが、

視野を広げて有理数の世界から一歩踏み出し、実数全体からなる世界を考えた途端、数列を構成する有理数を全て一度に認識できるようになり、

それまでは常に繰り返される動的な概念であった πという対象が、一つの定まった無理数π という一定値として認識されるようになると理解しております。』

これはスーザンさんは、これで無限とは単純に有限ではないという意味をしており、したがってその次に次のステップが生じてしまう動的な概念ではありますけども。つまり、ずっと続く概念ではありますけども、それは動きを俯瞰して全て同時に把握することでっていうのがこの完備化か、確か。そうだよね、完備化という言葉を生み出して、そういう…。

でもこれπと同じことだよね？

数列｛a_n｝を、これはπって言ってしまえばいいんじゃないの？

別に。

一般化するために数列｛a_n｝という型にしたんでしょうけれども。

もっと深い意味が多分あると思うんですよ、数学者が考えたんだから。でもπじゃないの？これ結局。あるいは√2じゃないの？

『以上の考察から、無限とは単純に有限ではないとうこと意味しており、したがって常に次のステップが生じてしまう動的な概念であるが、

それらの動きを俯瞰してすべて同時に把握することで初めて、現われの世界から離れ静的な（時間の流れていない）永遠というものが生じてくるのではないか？と考えました。

数学の無限から派生してあれこれ想像を膨らませておりましたが、このような考察は無限や永遠の真実の在り様と関連するものになっておりますでしょうか？

要領の得ない箇所が多々あると思われますが、ぜひ目風様に一度目を通して頂き、時間や無限について宇宙全史のお言葉を賜りたく、再度投稿をさせて頂きました。

何卒よろしくお願い申し上げます。

本日も誠にありがとうございました。』

この無理数に関して、もうちょっと深いお話しをしたいと思うんですよ。で、それはね、今御祭舟で描かれている…地球編というか、地球の応援があって描いてる外伝3にも関係してくるんですけども。

その無理数っていうのは、実はですね、ニュートンがですね、何だっけ？積分？微分？両方とも同じような概念なんだね、概念なんですけども、そことわりと関係してきて。

要するに無限…と関わってくるんです。あるいは無限小と関わってくるんですよね。

非常に小さなもの、極小のもの、極大のもの。

微分というのはもう極小のものに関わってくるんだけれども、そこと関係がしてくるもので、それについて。

なんでこの世界には無限っていう概念があるのか。で、数学には「発散」とか、あるいは無理数ですね、そういったものが存在するのかというのを次回お話ししたいと思います。

数学における「無理数の完備化」について、簡単にわかりやすく説明します。

1.無理数って何？

まず、無理数とは「分数で表せない数」のことです。

例えば、円周率πや、√2が無理数です。どれだけ小数を続けても、完全に表すことができない終わりのない小数が無理数の特徴です。例えば

・π=3.14159…（どこまでも続く）

・√2=1.41421…（これもずっと続きます）

これに対して、分数で表せる数、例えば2分の1や3は「有理数」と呼ばれます。

2.数の世界の「穴」を埋めること

次に、「無理数の完備化」とは、数の世界の「穴」を埋めるということです。

有理数（分数で表せる数）だけだと、どうしても数直線上で「穴」が空いてしまうことがあります。

例えば有理数だけで√2のような数を正確に表すことはできません。

「完備化」というのは、この数直線上の「穴」や「隙間」を無理数を加えることで埋めて、完全な連続した数の世界を作ることを意味します。

これによって、どんな数も数直線上できちんと表すことができるようになるのです。

3.無理数を加えて「実数」が完成

実際には、有理数に無理数を加えることで、「実数」という完全な数の体系ができます。

実数には、有理数（分数）も無理数（分数で表せない数）もすべて含まれています。

これが「完備化」の結果です。つまり、無理数を加えることで、数直線上の全ての点を表現できる実数という完璧な数の体系ができる、ということです。

まとめ

「無理数の完備化」とは、分数（有理数）だけでは埋められない数直線の隙間を、無理数を加えて埋めることです。

これによって、数の世界が完全につながり、どんな数も正確に表すことができる「実数」という体系ができあがる、というイメージです。